HEISY SOSA CAZARES
martes, 18 de diciembre de 2012
lunes, 10 de diciembre de 2012
♥-♥!!!PARABOLA!!!♥-♥
PARÁBOLA
Definición
La parábola es el conjunto de puntos P(x,y) del plano que está a la misma
distancia de un punto F( foco), y de una recta fija d (directriz).
d (P,F) = d (P, d) = P/2
Elementos de la parábola.
En la parábola se distinguen los siguientes elementos:
- El foco es el punto F.
- La directriz es la recta d.
- El radio vector de un punto P es el segmento PF que lo une al foco.
- El parámetro es la distancia FD del foco a la directriz d y se designa por p.
- El eje de la parábola es también un eje de simetría. La recta que pasa
por el foco y es perpendicular a la directriz . En la figura el eje de la
parábola coincide con el eje .
- El vértice es el punto V en que el eje corta a la parábola.
Ecuación reducida de la parábola
Consideremos la parábola de eje OY y vértice el origen de coordenadas (0,0).
El foco F(0, p/2 ) y la recta directriz d: y=-p/2.
Aplicando la definición de parábola a un punto P(x,y) de la parábola:
d (P,F) = d (P, d) = p/2
(x-0)2 [y-p/2]2 = y + p/2
02 + 12
domingo, 9 de diciembre de 2012
HIPERBOLA!!!! ♥-♥
HIPÉRBOLA
La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante:
l PF´- PF l = 2a
Elementos de la hipérbola.
En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:
- El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
- El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.
- El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los
ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
- La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
- Los vértices son los puntos A, A´ y B, B´
- El eje real es el segmento AA´.
- El eje imaginario es el segmento BB´.
Longitudes de los ejes.
El eje real AA´ mide 2a luego OA = OA´ = a
De igual forma se toma como longitud del eje imaginario BB´ 2b, luego
OB = OB´ = b.
Y la distancia focal es FF´ = 2c.
Relación entre a, b y c.
La relación pitagórica entre estos elementos principales es: c2 = a2 + b2
Ecuación reducida de la hiperbola de eje real OX
Se obtiene desarrollando la definición de hipérbola, y utilizando la
relación entre los elementos principales
x2 - y2 = 1
a2 b2
Excentricidad.
Observando varias hipérbolas se ve que unas tienen la rama más
abierta que otras. Esta característica de ser más abierta o más cerrada
se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente
de c entre a: e = c / a , con c>a.
Como c>a, se deduce que la excentricidad de la hipérbola es un número
mayor que1.
Si e tiende a 1, c tiende al valor de a y las ramas se cierran cada vez
más. Por el contrario, cuanto mayor es la excentricidad, más se van
abriendo las ramas de la hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola.
Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se
acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas.
La ecuación de las asíntotas para una hipérbola de ecuación
x2 - y2 = 1, son y = b x e y= -b x
a2 b2 a a
!!!☺ELIPSE☺!!!
ELIPSE
Definición
Elipse es el conjunto de puntos del plano que verifican que la suma de las
distancias desde cada uno de ellos a dos puntos fijos (F y F´) llamados focos
es una cantidad constante, que llamamos 2a.
PF+PF´= 2a
Elementos De La Elipse.
En la elipse se distinguen los siguientes elementos:
- El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
- El eje secundario es la mediatriz del segmento FF´.
- El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el
centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
- La distancia focal es el segmento FF´, cuya longitud es 2c.
- Los focos son los puntos F y F´. En una elipse de centro C(0,0), las
coordenadas de los focos son F(c,0) y F´(-c,0)
- Los vértices son los puntos A y A´, B y B´ en los que los ejes cortan a la
elipse. En una elipse de centro O(0,0), las coordenadas de los vértices
son A(a,0) A´(-a,0) B(0,b) B´(0,-b)
- El eje mayor es el segmento AA´.
- El eje menor es el segmento BB´.
La longitud del eje mayor AA´ se designa por 2a, AA´= 2a
La longitud de los semiejes es: OA = OA´= a.
La longitud del eje menor BB´ se designa por 2b, BB´ = 2b
Por tanto: OB = OB´ = b.
La distancia focal FF´ se designa por 2c, FF´ = 2c
y la semidistancia focal será: OF = OF´ = c.
Relación entre a, b y c.
Si tomamos el punto P en el vértice B, obtenemos
BF + BF´ = 2a, luego BF = BF´ = a
Considerando el triángulo rectángulo OFB, de catetos b y c y de hipotenusa a.
El teorema de Pitágoras proporciona la relación: a2 = b2 + c2
Ecuación reducida de la elipse de eje mayor OX
Haciendo uso de la definición de elipse y de la relación entre los elementos
principales , obtenemos :
x2 + y2 = 1
a2 b2
Excentricidad.
Si se observan varias elipses se ve que unas son redondeadas y otras son
alargadas o achatadas. Esta característica de la elipse de ser más o menos
redondeada se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el
cociente de c entre a: e = c / a, con c<a.
Como c<a, se deduce que la excentricidad es un número comprendido entre 0
y 1. Cuanto más se aproxima la excentricidad a 1 más alargada o achatada es
la elipse, tendiendo a confundirse con el eje mayor; y cuanto más se aproxima
a 0 más se parece a una circunferencia.
!!!♥CIRCUNFERENCIA♥!!!
CIRCUNFERENCIA
Definición
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos P(x,y ) del plano que
están a igual distancia de un punto interior C(h,k) llamado centro. A esta
distancia constante la llamaremos radio, r.
d(P,C) = r
Usando la expresión de distancia entre dos puntos (que vimos en el tema de
ecuación de la recta):
Elevamos al cuadrado para quitar la raíz:
(x- h)2 + (y- k)2 = 0
Desarrollando la ecuación, se tiene:
x2 - 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
Ordenando la ecuación:
x2 + y2 - 2hx – 2ky + h + k2 - r2 = 0
Es decir la ecuación de una circunferencia es de la forma:
x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0
Siendo:
D= -2h despejando h: h= -D/2
E = -2k despejando k: k= -E/2
F= h2 + k2- r2 despejando r:
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a
(x- h)2 + (y- k)2 = 0
x2 + y2 = r2
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