HIPÉRBOLA
La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante:
l PF´- PF l = 2a
Elementos de la hipérbola.
En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:
- El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
- El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.
- El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los
ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes son sus ejes de simetría.
- La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
- Los vértices son los puntos A, A´ y B, B´
- El eje real es el segmento AA´.
- El eje imaginario es el segmento BB´.
Longitudes de los ejes.
El eje real AA´ mide 2a luego OA = OA´ = a
De igual forma se toma como longitud del eje imaginario BB´ 2b, luego
OB = OB´ = b.
Y la distancia focal es FF´ = 2c.
Relación entre a, b y c.
La relación pitagórica entre estos elementos principales es: c2 = a2 + b2
Ecuación reducida de la hiperbola de eje real OX
Se obtiene desarrollando la definición de hipérbola, y utilizando la
relación entre los elementos principales
x2 - y2 = 1
a2 b2
Excentricidad.
Observando varias hipérbolas se ve que unas tienen la rama más
abierta que otras. Esta característica de ser más abierta o más cerrada
se mide con un número llamado excentricidad (e), que es el cociente
de c entre a: e = c / a , con c>a.
Como c>a, se deduce que la excentricidad de la hipérbola es un número
mayor que1.
Si e tiende a 1, c tiende al valor de a y las ramas se cierran cada vez
más. Por el contrario, cuanto mayor es la excentricidad, más se van
abriendo las ramas de la hipérbola.
Asíntotas de la hipérbola.
Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas a las que la curva se
acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas.
La ecuación de las asíntotas para una hipérbola de ecuación
x2 - y2 = 1, son y = b x e y= -b x
a2 b2 a a
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